Невероятный парадокс с кольцами для салфеток

Специально для mixstuff – Игорь Абрамов

Вот утверждение, в которое вы ни за что не поверите: если вырезать сердцевину из апельсина или из планеты Земля таким образом, чтобы оставшиеся кольца были одинаковой высоты, объем этих колец так же будет равным. Ну, как вам? Мы же предупреждали, что не поверите. Тогда прочтите до конца.

Эта задача известна c XVII столетия. Ее впервые сформулировал японский математик Секи Кова. Его геометрическое доказательство в конечном итоге получило известность под названием «проблема кольца для салфеток», потому что сфера, из которой вырезали сердцевину, действительно очень похожа на кольцо для салфеток.

Когда вы вырезаете сердцевину из сферы, в сущности, вы удаляете из ее середины тело цилиндрической формы. Независимо от радиуса сферы, если вы проделаете процедуру создания кольца для салфеток определенной высоты, любое кольцо с такой высотой будет иметь один и тот же объем. Например, если вы вырезаете сердцевину из апельсина, чтобы создать кольцо для салфеток высотой 2 дюйма, а затем вырезаете сердцевину из планеты Земля, чтобы получилось кольцо для салфеток такой же высоты, у вас получится два кольца с совершенно  различными диаметрами, но их внутренний объем будет в точности совпадать. Минутку, как же так?

Существует два способа объяснить этот странный феномен: с использованием математики и без нее. Версия без математики выглядит следующим образом: по мере того, как увеличивается сфера, из которой вы вырезаете сердцевину, то же происходит и с цилиндром, который вы должны вынуть, чтобы получить кольцо нужной высоты. Удаление сердцевины из апельсина для получения кольца высотой в 2 дюйма, требует удаления гораздо меньшего объема, чем удаление сердцевины из гигантской сферы размером с планету для получения кольца той же высоты. Чем меньше сфера, тем толще получившееся кольцо, поэтому маленькое кольцо для салфеток заданной высоты может иметь такой же объем, что и большое кольцо для салфеток при той же высоте.

Чтобы найти объем каждого из двух колец для салфеток с помощью математики, вы должны записать несложные уравнения, которые используют площадь круга, немного геометрии и Теорему Пифагора. Вы обнаружите, что проделав всю необходимую работу и упростив получившиеся уравнения, вы получите уравнение следующего вида:

Как видите, единственная переменная величина, которую нужно знать для того, чтобы вычислить объем кольца для салфеток – это высота кольца h. Оказывается, радиус сферы в формулу не входит, то есть объем кольца абсолютно не зависит от размера сферы. Чтобы получить подробное объяснение, можно посмотреть видеоролик на канале YouTube.

http://www.youtube.com/watch?v=J51ncHP_BrY

Доводя эту задачу до крайности, скажем, что если бы вы вырезали сердцевину из мячика для гольфа и Солнца, создав кольца для салфеток высотой в 1 дюйм, эти два кольца тоже имели бы совершенно одинаковый объем. А как на счет горошины и Юпитера? Пока кольца имеют одинаковую высоту, их объем будет оставаться точно таким же.

Теперь вы можете взорвать мозг своим родным и близким во время ближайшего семейного торжества, если, конечно, у вас в семье принято вставлять салфетки в кольца для украшения праздничного стола.

.