Парадокса можно избежать, предположив, что высказывание — исключение из закона бивалентности, оно не истинно и не ложно. Новая формулировка высказывания будет звучать так: «То, что я говорю, — неправда». Если предположить, что это правда, значит, все обстоит так, как говорит человек, и его высказывание не является правдой. Но высказывание не может одновременно быть и правдой, и неправдой, значит, это ложь. Мы предположили, что высказывание является правдой, получили противоречие и пришли к выводу, что оно ложно. Но в нем и говорилось, что высказывание не является правдой, что мы только что доказали и снова получили противоречие.

Дизъюнктивный силлогизм

Закон непротиворечия гласит: ничто не может одновременно обладать каким-то признаком и не обладать им. Простой пример: стена не может быть одновременно белого и небелого цвета. Но высказывание «То, что я говорю, — неправда» одновременно является правдой и неправдой, это контрпример закону непротиворечия.

Философы считают плохой идеей допускать противоречия в теориях. Но допустим, что одновременно истинно и ложно высказывание «Либо утверждение истинно, либо Луна сделана из зеленого сыра». Таким образом, если мы лжем, что говорим правду, или говорим правду, что лжем, следует признать, что Луна сделана из зеленого сыра. Использованный принцип можно обобщить в форме «либо P, либо Q и не P, следовательно, Q». Это стандартное правило называется в логике дизъюнктивным силлогизмом.

Диалетеические решения парадокса лжеца

Найти решение парадокса лжеца можно, допуская противоречия без необходимости делать на их основании какие-либо выводы, — и здесь следует ввести слово «диалетеический». С греческого его можно перевести как «два истинностных значения». Сторонники диалетеических решений предлагают отказаться от дизъюнктивных силлогизмов как метода аргументации. Если предположить, что высказывания обладают одновременно двумя истинностными значениями, то посылки дизъюнктивного силлогизма могут быть истинны, но следствие окажется ложным.

Рассмотрим в качестве примера высказывание «либо P, либо Q и не P» и предположим, что P одновременно истинно и ложно. Тогда «либо P, либо Q» тоже одновременно истинно и ложно независимо от значения Q. Но если P одновременно истинно и ложно, то и «не P» одновременно истинно и ложно, и тогда «либо P, либо Q и не P» тоже одновременно истинно и ложно. Но если принять истинность высказывания P, а Q («либо Луна сделана из зеленого сыра») при этом будет ложно, то, согласно принципам дизъюнктивного силлогизма, мы будем вынуждены перейти от истинных посылок к ложному следствию.

Мы получили жизнеспособное решение парадокса лжеца, но оно сработает, только если перейти к неклассической логике, в которой отказались от принципов дизъюнктивного силлогизма.

Парадокс Карри

Парадокс Карри, названный в честь американского математика Хаскелла Б. Карри, основан на импликации. Возьмем для примера высказывание «Если это утверждение истинно, то Луна сделана из зеленого сыра».

Предположим, что высказывание истинно, тогда, согласно принципу modus ponens — «если P, то Q», — следует, что Луна сделана из зеленого сыра. Мы не доказали, что Луна сделана из сыра, но доказали, что если высказывание истинно, то Луна сделана из зеленого сыра. Но это и есть исходное высказывание, а значит, оно истинно. В первый раз мы пришли к выводу, предположив, что высказывание истинно, во второй раз мы избавились от предположения, доказав истинность высказывания, не используя для этого дизъюнкцию.

Cторонники диалетеических решений хотят пересмотреть теорию условий — она должна выдерживать парадокс Карри. Обычно для этих целей используется правило сокращения. В случае «Если это высказывание истинно, то если это высказывание истинно, то Луна сделана из зеленого сыра» два предположения «если это высказывание истинно» сокращаются до одного. Мы двигаемся от «Если P, то если P, то Q» к «Если P, то Q». Но если условие сокращается или мы решаем предположить его два раза — это то же самое, что и предположить один раз. И в этом заключается проблема диалетеических решений парадокса лжеца.

Логика и диалетеические решения

Неклассические — диалетеические — решения отвергают принципы доказательства дизъюнктивных силлогизмов — и они должны это сделать, ведь они хотят оставить в своей теории противоречия. В случае с парадоксом лжеца они оставляют за собой возможность сказать, что утверждения одновременно бывают истинны и ложны, но это не обязывает выводить любое последующее утверждение.

Диалетеические решения парадокса лжеца включают в себя как теорию истины, которую поддерживают другие философы, так и существование противоречий — возможность быть одновременно истинными и ложными. Поэтому сторонникам диалетеических решений нужно пересмотреть принципы логики. Хотя некоторые из них известны нам на протяжении тысячелетий, это не значит, что они истинны.